[toc] # KaTeX 公式指南 ## 摘要 **Markdown** 是一种轻量级标记语言。我们的网站中所有的题目、题解、评论等需要或可能需要格式化排版的内容全部使用 Markdown 输入。我们为 Markdown 输入添加了 $\KaTeX$ 公式的支持。由于 $\KaTeX$ 公式内容较多，故单分为此篇。其它 Markdown 语法可以在[此处](/helps/write-markdown)找到。 本篇内容仅包含常用的公式用法，更多内容参见[此处](https://katex.org/docs/support_table)。 ## 公式语法基础 ### 行内公式与行间公式 在 $\KaTeX$ 中，行内公式要用 `$` 符号包围，行间公式要用 `$$` 符号包围。例如：`$x^2 + 2x + 1$` 渲染得到 $x^2 + 2x + 1$， ```latex $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ ``` $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ ### 分组与整体 将多个字符用 `{...}` 包围，就得到一个**分组**，分组可以嵌套。单个字符、单个无参数命令或单个分组被视为一个**整体**。 ### 命令 公式中的**命令**以 `\` 开头，后面跟着一系列连续的大写或小写字母，例如 `\alpha`、`\beta`。 命令可以带有参数。一个接受 $n$ 个参数的命令，其后的 $n$ 个整体被视为其参数。命令也可以带有可选参数，可选参数必须使用 `[...]` 包围。例如： 命令 | 效果 | 命令 | 效果 --------------- | --------------- | --------------- | --------------- `\alpha` | $\alpha$ | `\sqrt[n]{13}` | $\sqrt[n]{13}$ `\frac1{x + 1}` | $\frac1{x + 1}$ | `\frac{x + 1}2` | $\frac{x + 1}2$ `\frac xy` | $\frac xy$ | `\sqrt2` | $\sqrt2$ `p^\alpha, q^\beta, \dots` | $p^\alpha, q^\beta, \dots$ 需要注意的是，上述例子中的 `\frac xy` 不能写作 `\fracxy`，因为这样 `\fracxy` 会被视为一个命令，而非 `\frac{x}{y}`。 ### 环境 一个**环境**以 `\begin{环境名}` 始，至 `\end{环境名}` 止。环境可以接受参数，其格式与命令参数的格式相同。被环境包围的内容称为环境的**内容**。例如，可以使用 `pmatrix` 环境创建[矩阵](#矩阵)： ```latex $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ ``` $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ ### 转义字符 公式中可以使用 `\` 将字符进行**转义**，避免其被解析。 转义 | 效果 | 转义 | 效果 | 转义 | 效果 | 转义 | 效果 :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: `\%` | $\%$ | `\$` | $\$$ | `\&` | $\&$ | `\#` | $\#$ `\_` | $\_$ | `\{` | $\{$ | `\}` | $\}$ | `\backslash` | $\backslash$ ## 数学结构 **数学结构**是公式编写中最重要的部分。 ### 上标与下标 #### 一般上下标 使用 `^` 符号插入上标，`_` 符号插入下标。例如： 命令 | 效果 ----------------------------- | ----------------------------- `e^x` | $e^x$ `(x + y)^2` | $(x + y)^2$ `a^{x + y} = a^x \cdot a^y` | $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$ `F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}` | $F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ 可见，上标或下标的用法与命令基本相同，其将其后的一个[整体](#分组与整体)视为上下标的内容。上标或下标前面的内容，如上例中的 $e$、$(x + y)$、$a$、$F$，任何时候都不需要用花括号包围。 上标和下标可以嵌套使用，例如 `2^{2^x} + 1` 得到 $2^{2^x} + 1$。然而，嵌套使用上下标时，大括号不可少，例如 `2^2^x + 1` 是错误的。 #### 特殊符号上下标 对于 $\max$、$\min$、$\sum$、$\prod$ 等算子，其在行间公式模式下的上下标在其正上下方。例如： ```latex $$ \sum_{n = 1}^\infty \frac1{n^s} = \prod_p \frac1{1 - p^{-s}} $$ ``` $$ \sum_{n = 1}^\infty \frac1{n^s} = \prod_p \frac1{1 - p^{-s}} $$ 对于 $\int$ 等符号，其在行间公式模式下的上下标通常在角落处，例如： ```latex $$ I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}x \dx $$ ``` $$ I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}x \dx $$ #### 行内公式上下标 对于行内公式，无论算符，上下标都在右上角或右下角，例如行内公式 `\sum_{n = 0}^\infty` 得到 $\sum_{n = 0}^\infty$。 #### 改变上下标的位置 可以在上下标前使用 `\limits`、`\nolimits` 命令改变上下标的位置。例如在行内公式中： 命令 | 效果 ---------------------------- | ---------------------------- `\sum_{n = 0}^\infty` | $\sum_{n = 0}^\infty$ `\sum\limits_{n = 0}^\infty` | $\sum\limits_{n = 0}^\infty$ 行间公式中： ```latex $$ \sum\nolimits_{n = 0}^\infty $$ ``` $$ \sum\nolimits_{n = 0}^\infty $$ ### 分式与二项式系数 #### 分式 使用 `\frac` 命令渲染分式。其接受两个参数，分别表示分子和分母。例如，`\frac{az + b}{cz + d}` 在行内渲染得到 $\frac{az + b}{cz + d}$。 行内分式与行间分式的渲染结果有所不同。上例在行间分式中的表现为 $$ \frac{az + b}{cz + d} $$ 可以使用 `\tfrac`、`\dfrac` 命令指定分式渲染使用行内还是行间模式。例如： ```latex $$ f = \frac1{\dfrac1u + \dfrac1v} $$ ``` $$ f = \frac1{\dfrac1u + \dfrac1v} $$ 以及 ```latex $$ \tfrac n{H_n} = \sum\nolimits_{i = 1}^n \tfrac1{x_i} $$ ``` $$ \tfrac n{H_n} = \sum\nolimits_{i = 1}^n \tfrac1{x_i} $$ 即使在行间公式中，位于分子或分母上的分式也会按照行内模式渲染。此时，就可以使用 `\dfrac` 命令指定仍使用行间模式。 #### 二项式系数 使用 `\binom` 命令渲染二项式系数，其用法与 `\frac` 命令相同。例如： ```latex $$ \binom nk = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$ ``` $$ \binom nk = \frac{n!}{k!(n - k)!} $$ 也可以使用 `n \choose k` 得到相同的结果。与 `\frac` 相似，`\binom` 命令也有孪生的 `\tbinom`、`\dbinom` 命令，用于指定行内或行间模式。 #### 自定义分式 使用 `\genfrac` 命令自定义分式。其接受六个参数，如下： ```latex \genfrac{左括号}{右括号}{线宽}{样式}{分子}{分母} ``` 其中样式的意义是： 样式 | 对应命令 | 意义 -- | -------------------- | --------- 0 | `\displaystyle` | 行间模式 1 | `\textstyle` | 行内模式 2 | `\scriptstyle` | 角标模式 3 | `\scriptscriptstyle` | 小角标模式 指定渲染分式的模式。若置空，则模式由当前所处位置决定。 以下是例子： ```latex $$ \genfrac{\{}{\}}{1pt}{}nk $$ ``` $$ \genfrac{\{}{\}}{1pt}{}nk $$ ### 根式、上下划线与上下括号 #### 根式 使用 `\sqrt` 命令渲染根式。其接受一个可选参数，表示几次根。 命令 | 效果 --- | --- `\sqrt x \cdot \sqrt y = \sqrt{xy} \quad (x, y > 0)` | $\sqrt x \cdot \sqrt y = \sqrt{xy} \quad (x, y > 0)$ `\sqrt[n]x = x^{\frac1n}` | $\sqrt[n]x = x^{\frac1n}$ 注意到在使用 `\sqrt x + \sqrt y` 渲染 $\sqrt x + \sqrt y$ 时，左右高度不同，此时可以使用 `\mathstrut` 命令控制： ```latex $\sqrt{\mathstrut x} + \sqrt{\mathstrut y}$ ``` 渲染得到 $\sqrt{\mathstrut x} + \sqrt{\mathstrut y}$。 #### 上下划线与上下括号 使用 `\overline`、`\underline` 等命令创建上下划线： 命令 | 效果 | 命令 | 效果 :---: | :---: | :---: | :---: `\underline{x + y}` | $\underline{x + y}$ | `\overline{x + y}` | $\overline{x + y}$ `\underleftarrow{x + y}` | $\underleftarrow{x + y}$ | `\overleftarrow{x + y}` | $\overleftarrow{x + y}$ `\underrightarrow{x + y}` | $\underrightarrow{x + y}$ | `\overrightarrow{x + y}` | $\overrightarrow{x + y}$ `\underleftrightarrow{x + y}` | $\underleftrightarrow{x + y}$ | `\overleftrightarrow{x + y}` | $\overleftrightarrow{x + y}$ `\underbrace{x + y}` | $\underbrace{x + y}$ | `\overbrace{x + y}` | $\overbrace{x + y}$ 上下划线与上下括号可以嵌套。划线与括号高度同样可以使用 `\mathstrut` 控制。 ### 矩阵 可以使用 `matrix`、`pmatrix` 等环境创建矩阵。具体用法如下： ```latex \begin{矩阵环境名} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{矩阵环境名} ``` 使用 `\\` 分隔矩阵的每行，使用 `&` 分隔矩阵的每列。以下是一些矩阵环境及效果： 环境 | 效果 | 环境 | 效果 | 环境 | 效果 :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: `matrix` | $\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$ | `bmatrix` | $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ | `vmatrix` | $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ `pmatrix` | $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ | `Bmatrix` | $\begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix}$ | `Vmatrix` | $\begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix}$ 矩阵中可以使用 `\cdots`、`\vdots` 等省略号： ```latex $$ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}_{n \times n} $$ ``` $$ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}_{n \times n} $$ 对于行内公式，可以使用 `smallmatrix` 环境。其提供的矩阵不带括号，可以通过[定界符](/helps/write-markdown-equations-symbols#%E5%AE%9A%E7%95%8C%E7%AC%A6)添加。例如，`\left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right)` 在行内渲染得到 $\left( \begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix} \right)$。 ## 字体、符号与文字 ### 数学字体 公式中可以动态指定不同的数学字体。 #### 字体族 除了默认字体，还可以使用 `\mathrm` 等命令使用其它数学字体族，使用方法是 `\mathrm{ABC}`。以下是一些数学字体及其渲染效果： 命令 | 名称 | 字母效果 | 数字效果 :----------------: | :----: | :-: | :-: `\mathnormal` | 默认字体 | $ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ$ | $1234567890$ `\mathit` | 意大利体 | $\mathit{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathit{1234567890}$ `\mathrm` | 罗马体 | $\mathrm{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathrm{1234567890}$ `\mathsf` | 无衬线体 | $\mathsf{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathsf{1234567890}$ `\mathtt` | 打字机体 | $\mathtt{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathtt{1234567890}$ `\mathbb` | 黑板体 | $\mathbb{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathbb{1234567890}$ `\mathcal` | 书法体 | $\mathcal{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathcal{1234567890}$ `\mathscr` | 花体 | $\mathscr{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathscr{1234567890}$ `\mathfrak` | 哥特体 | $\mathfrak{ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ}$ | $\mathfrak{1234567890}$ 其中 `\mathbb` 又作 `\Bbb`，其支持所有大写字母和 `k`。`\mathbb{k}` 又作 `\Bbbk`。 #### 字体大小 可以使用如下四个命令调整字体大小： 命令 | 名称 | 效果 :------------------: | :------: | :----------------------------------------: `\displaystyle` | 行间模式 | $\displaystyle{\frac{x + 1}{x + 2}}$ `\textstyle` | 行内模式 | $\textstyle{\frac{x + 1}{x + 2}}$ `\scriptstyle` | 角标模式 | $\scriptstyle{\frac{x + 1}{x + 2}}$ `\scriptscriptstyle` | 小角标模式 | $\scriptscriptstyle{\frac{x + 1}{x + 2}}$ 上述命令不接受任何参数。在公式中使用上述命令时，将影响本条公式中其后所有内容。 ### 水平间距与盒子 合理利用水平间距与各类盒子，可以自主调整文本样式，更好地控制公式间距。 #### 长度单位 要使用水平间距，需要先了解长度单位。下列是公式中可用的长度单位： 长度 | 效果 | 备注 ---------------------: | :--------------------- | --- 对照组 | $AA$ $20\,\mathrm{pt}$ | $A\hspace{20pt}A$ | point，点/磅 $1310720\,\mathrm{sp}$ | $A\hspace{1310720sp}A$ | scaled point，最小单位 $20\,\mathrm{bp}$ | $A\hspace{20bp}A$ | big point，大点，$72\,\mathrm{bp} = 1\,\mathrm{in}$ $20\,\mathrm{dd}$ | $A\hspace{20dd}A$ | didot point，$1157\,\mathrm{dd} = 1238\,\mathrm{pt}$ $2\,\mathrm{pc}$ | $A\hspace{2pc}A$ | pica，四号字大小，$1\,\mathrm{pc} = 12\,\mathrm{pt}$ $2\,\mathrm{cc}$ | $A\hspace{2cc}A$ | cicero，$1\,\mathrm{cc} = 12\,\mathrm{dd}$ $10\,\mathrm{mm}$ | $A\hspace{10mm}A$ | mm，毫米，$10\,\mathrm{mm} = 1\,\mathrm{cm}$ $1\,\mathrm{cm}$ | $A\hspace{1cm}A$ | cm，厘米，$2.54\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{in}$ $0.5\,\mathrm{in}$ | $A\hspace{.5in}A$ | inch，英寸，$1\,\mathrm{in} = 72.27\,\mathrm{pt}$ $10\,\mathrm{ex}$ | $A\hspace{10ex}A$ | 字号相关的长度，本指当前字号下字符 x 的高度 $5\,\mathrm{em}$ | $A\hspace{5em}A$ | 字号相关的长度，本指当前字号下字符 M 的宽度 #### 水平间距 可以使用 `\hspace` 命令产生**水平间距**： ```latex $$ a, b, \hspace{10pt}, c $$ ``` $$ a, b, \hspace{10pt}, c $$ 可以使用 `\thinspace` 等预定义的水平间距： 命令 | 宽度 | 效果 | 备注 :--------------------: | ---------------------: | :---------------- | --- 对照组 | $0\,\mathrm{em}$ | $AA$ `\thinspace` 或 `\,` | $0.1667\,\mathrm{em}$ |$A\,A$ | 不可换行 `\negthinspace` | $-0.1667\,\mathrm{em}$ |$A\negthinspace A$ | 不可换行 `\enspace` | $0.5\,\mathrm{em}$ |$A\enspace A$ | 不可换行 `\nobreakspace` 或 `~` | 空格 |$A~A$ | 不可换行 `\quad` | $1\,\mathrm{em}$ | $A\quad A$ `\qquad` | $2\,\mathrm{em}$ | $A\qquad A$ `\enskip` | $0.5\,\mathrm{em}$ | $A\enskip A$ `\ ` | 空格 | $A\ A$ #### 盒子 可以使用 `\fbox` 命令产生**带边框的盒子**，盒子中的内容不能换行： ```latex $$ \fbox{\text{无法换行的内容……}} $$ ``` $$ \fbox{\text{无法换行的内容……}} $$ 可以使用 `\llap`、`\rlap` 命令产生左、右边的**重叠效果**： ```latex $$ \text{左边内容\llap{重叠}} \hspace{20pt} \text{\rlap{重叠}右边内容} $$ ``` $$ \text{左边内容\llap{重叠}} \hspace{20pt} \text{\rlap{重叠}右边内容} $$ 可以使用 `\phantom` 命令产生**幻影盒子**，盒子中的内容不显示，但保留其间距： ```latex $$ \begin{align*} 1 \phantom{+ 2} + 3 \phantom{+ 4} + 5 \phantom{+ 6} &= 9 \\ \phantom{+ 1} + 2 \phantom{+ 3} + 4 \phantom{+ 5} + 6 &= 12 \end{align*} $$ ``` $$ \begin{align*} 1 \phantom{+ 2} + 3 \phantom{+ 4} + 5 \phantom{+ 6} &= 9 \\ \phantom{+ 1} + 2 \phantom{+ 3} + 4 \phantom{+ 5} + 6 &= 12 \end{align*} $$ ### 数学符号 公式中可以插入各种符号。前往[这里](/helps/write-katex-symbols)查看符号表。 ### 插入正文文字 使用 `\text` 命令在公式中插入文字，例如： ```latex $$ E = mc^2 \Rightarrow \text{能量} = \text{质量} \times \text{光速}^2 $$ ``` $$ E = mc^2 \Rightarrow \text{能量} = \text{质量} \times \text{光速}^2 $$ 若要在 `\text` 的内容中插入行内公式，需要使用 `$...$` 将公式包围： ```latex $$ \text{能量 $E$} = \text{质量 $m$} \times \text{光速 $c$}^2 $$ ``` $$ \text{能量 $E$} = \text{质量 $m$} \times \text{光速 $c$}^2 $$ ## 多行公式排版 参见[此处](/helps/write-katex-multiline)。 ## 参考与引用 我们在编写这一文档时，参考了《$\LaTeX$ 入门》一书中的第四章有关公式的内容。如有侵权，请联系删除。 本篇内容仅包含常用的公式用法，难免有疏漏之处，有关 $\KaTeX$ 公式的所有内容参见[此处](https://katex.org/docs/support_table)。